Многоугольники на решетке формула пика реферат

    Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением. Здесь — произвольное натуральное число. Спасибо за внимания! Движение на этом своеобразном мосту между анализом и геометрией стало достаточно интенсивным и двусторонним. Пусть длины его сторон равны и.

    Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. Условия использования.

    Решетка центрально-симметрична относительно середины любого отрезка, который соединяет два узла этой решетки. Эта тема сегодня является актуальной, так как эти задачи включены в контрольно-измерительные материалы ГИА 9 класса и ЕГЭ 11 класса.

    К сожалению, эта замечательная формула не обобщается на большие размерности, даже на трехмерный случай. Это показал Рив. Рассмотрим тетраэдр Рива, вершины которого имеют координаты. Здесь — произвольное натуральное число.

    Многоугольники на решетке формула пика реферат 9399

    При любом внутри этого тетраэдра нет ни одной целочисленной точки, а на границе нет никаких целочисленных точек, кроме. Таким образом, при различных объемах и площадях поверхностей данных тетраэдров число целочисленных точек, которые лежат внутри них и на их границах, остается неизменным, и обобщения формулы Пика получить не удается.

    В мире существует только кубическая система координат, основание есть квадрат. То, что дана формула Пика ошибочно. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равноотстоящих прямых. Оповещать о новых комментариев по почте.

    Пик поступил в университет в Вене в году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет.

    Многоугольники на решетке формула пика реферат 3938812

    Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

    Доказательство: Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Обязательно надо следить за аккуратностью чертежа и положением точек. И еще один пример. Будем считать, что точка О на рисунке ,г является началом координат, D р; 0 , A q; 0 , E 0; г , В 0; s.

    Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала. Первым делом мы поставили задачу : изучить, что такое узлы решетки и как правильно вычислять их количество.

    Оказалось, это очень. Приведем несколько примеров. Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать их количество очень легко.

    формула ПИКА.

    И еще один пример. Дан произвольный многоугольник. Считаем узлы на границе. Их Узлом многоугольники на решетке формула пика реферат многоугольника На рассмотрение реферат философия права примеров мы затратили всего минуты.

    Будем считать, что точка О на рисунке ,г является началом координат, D р; 0A q; 0E 0; гВ 0; s. Через I P будем обозначать число узлов решетки, расположенных внутри многоугольника Р, но не на его сторонах.

    Согласно сделанному предположению, их будет не менее двух. Теорема доказана. Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К.

    Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников. Любой простой многоугольник имеет, по крайней мере, одну многоугольники на решетке формула пика реферат, которая целиком расположена внутри многоугольника.

    Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n — 2 это разбиение — триангуляция с вершинами в вершинах n- угольника. Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник то есть он связный — любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь.

    Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой. Пусть В— число целочисленных точек внутри многоугольника, Г— количество целочисленных точек на его границе, S— его площадь.

    Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны а и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами а и bрассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали.

    Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

    Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники например, диагоналями.

    Формула Пика

    Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая. Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник.

    [TRANSLIT]

    Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника. Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам.

    1 Формула Пика для площади многоугольника

    Любой многоугольник можно разбить на треугольники например, диагоналями. Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.

    Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением. Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим.

    Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности.

    Формула Пика

    Файловый архив студентов. Логин: Пароль: Забыли пароль? Email: Логин: Пароль: Принимаю пользовательское соглашение. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения.

    Многоугольники на решетке формула пика реферат 1543